Последние поступления в раздел «Решения»

Решения задач по высшей математике из популярных учебных пособий

1662 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2-3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1661.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1661 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2+3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1662.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1660 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt[5]{1-2x+x^2}}{1-x} \, dx $

Выделим под корнем полный квадрат и преобразуем подинтегральное выражение

1659 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{dx}{(5x-2)^\frac{5}{2}} $

Сделаем замену переменной: $ t=5x-2 $. Тогда $ dt = (5x-2)'\,dx = 5 \, dx $, а значит $ dx = \frac{dt}{5} $.

1658 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{2-5x}} $

Сделаем замену переменной: $ t=2-5x $. Тогда $ dt = -5 \, dx $ и $ dx = -\frac{dt}{5} $.

1652 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \th^2 x \, dx $

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический тангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \th x = \frac{\sh x}{\ch x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического косинуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

1653 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \cth^2 x \, dx $

Решение этой задачи абсолютно аналогично решению задачи 1652.

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический котангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \cth x = \frac{\ch x}{\sh x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического синуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

1646 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{e^{3x} + 1}{e^x + 1} \, dx $

Преобразуем числитель подинтегральное выражение с помощью формулы для суммы кубов, разобьем интеграл на три и обратимся к таблице простейших интегралов:

1648 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти при $ 0 \leqslant x \leqslant \pi $ следующий интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой для синуса двойного угла. Преобразуем подкоренное выражение с помощью формулы для квадрата разности. Далее, раскрывая модули, обратимся к таблице простейших интегралов:

1657 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int\sqrt[3]{1-3x} \, dx $

Сделаем замену переменной: $ t=1-3x $. Тогда $ dt = -3 \, dx $ и $ dx = -\frac{dt}{3} $.

RSS: отслеживать публикацию материалов