Последние поступления в раздел «Решения»

Решения задач по высшей математике из популярных учебных пособий

3882 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Представить интегралом Фурье следующую функцию: $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sgn x, & |x| < 1, \\ 0, & |x| > 1. \end{cases} $

Напомним, что функция $ \sgn x $ определяется следующим образом:

$$<br /> \sgn x = \begin{cases} +1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}<br /> $$

Для $ f(x) $ выполнены все условия для возможности ее представления интегралом Фурье: она задана на всей действительной оси, вместе со свой производной она непрерывна на каждом конечном промежутке, абсолютно интегрируема на интервале $ (-\infty, +\infty) $.

1645 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{2^{x+1} - 5^{x-1}}{10^x} \, dx $

Преобразуем подинтегральное выражение, разобьем интеграл на два и обратимся к таблице простейших интегралов:

1644 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \left(2^x + 3^x\right)^2 \, dx $

Раскроем скобки в подинтегральном выражении, воспользовавшись формулой для квадрата суммы. Разобьем интеграл на сумму трех и обратимся к таблице простейших интегралов:

3881 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Представить интегралом Фурье следующую функцию: $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если} |x| < 1; \\ 0, & \text{если} |x| > 1. \end{cases} $

Функция $ f(x) $ представляет собой «ступеньку»: она принимает значение единица внутри интервала (-1, 1), и ее значение равно нулю вне сегмента [-1, 1], т.е. точки -1 и 1 являются точками разрыва первого рода. Таким образом, функцию можно представить интегралом Фурье.

1643 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}} \, dx $

Решение этой задачи полностью аналогично решению задачи 1642.

Выражение в знаменателе подинтегрального выражения преобразуем, воспользовавшись формулой для разности квадратов. Разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

1642 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \, dx $

Выражение в знаменателе подинтегрального выражения преобразуем, воспользовавшись формулой для разности квадратов. Разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

1641 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^2+3}{x^2-1} \, dx $

Представим в числителе подинтегрального выражения 3 как −1+4, разобьем интеграл на сумму двух, поменяем знак в знаменателе второго подинтегрального выражения и обратимся к таблице простейших интегралов:

1640 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^2}{1-x^2} \, dx $

Вынесем знак «минус» за знак интеграла, при этом числитель подинтегрального выражения необходимо будет домножить на −1. Добавим и вычтем в числителе единицу, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

1638 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл:$\displaystyle \int \frac{1}{x^3} \sqrt{x^4+x^{-4}+2} \, dx $

Соберем под знаком корня квадрат суммы, воспользуемся тем фактом, что $\displaystyle x^2 + x^{-2} > 0 $, чтобы «избавиться» от корня, и обратимся к таблице простейших интегралов:

1637 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{1}{x} (\sqrt{2x} - \sqrt[3]{3x})^2 \, dx $

Воспользуемся формулой для квадрата разности, раскроем скобки и обратимся к таблице простейших интегралов:

RSS: отслеживать публикацию материалов