Последние поступления в раздел «Решения»

Решения задач по высшей математике из популярных учебных пособий

65 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $

Покажем, что $ \forall \varepsilon > 0 $ найдется номер $ N \in \mathbb{N} $ такой, что при $ n > N $ будет выполняться $ |\sqrt[n]{n} - 1| < \varepsilon $, т.е. что последовательность $ \{\sqrt[n]{n} - 1\} $ является бесконечно малой.

66 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать следующее равенство: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 $

Сначала докажем, что для любого $ k \geqslant 0 $ верно следующее утверждение: $\displaystyle k! > \left(\frac{k}{e}\right)^k $. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Для k=1 неравенство с очевидностью верно (действительно, $\displaystyle 1! > \left(\frac{1}{e}\right)^1 $). Пусть оно верно для некоторого $ k \in \mathbb{N} $. Покажем, что оно верно и для k+1.

1.2 — Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович «Сборник задач по теории функций комплексного переменного»

Условие: 
Найти модули и аргументы указанных комплексных чисел

1.1 — Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович «Сборник задач по теории функций комплексного переменного»

Условие: 
Выполнить указанные действия:
  1. $\displaystyle \frac{1}{i} $
  2. $\displaystyle \frac{1-i}{1+i} $
  3. $\displaystyle \frac{2}{1-3i} $
  4. $\displaystyle (1+i\sqrt{3})^3 $

3846 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующий интеграл: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \cos^4 x \, dx $

Воспользуемся решением задачи 3856:

3856 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы следующий интеграл: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx $

Сделаем замену переменной: $ t = \sin^2 x $, тогда $ \sin x = \sqrt{t} $, $ \cos x = \sqrt{1 - t} $, $ dt = 2 \sin x \cos x \, dx $. Отсюда

1629 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int x^2(5-x)^4 \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1630 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int (1-x)(1-2x)(1-3x) \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1628 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int (3 - x^2)^3 \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1681 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл $\displaystyle \int \sin \frac{1}{x} \cdot \frac{dx}{x^2} $
RSS: отслеживать публикацию материалов