1637 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1637
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{1}{x} (\sqrt{2x} - \sqrt[3]{3x})^2 \, dx $

Воспользуемся формулой для квадрата разности, раскроем скобки и обратимся к таблице простейших интегралов:

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{1}{x} (\sqrt{2x} - \sqrt[3]{3x})^2 \, dx = \int x^{-1} \left( (\sqrt{2x})^2 - 2 \sqrt{2x} \sqrt[3]{3x} + (\sqrt[3]{3x})^2 \right) \, dx = {} \\ {} = \int x^{-1} \left( 2x - 2 \cdot 2^\frac{1}{2} 3^\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{3^2} x^\frac{2}{3} \right) \, dx = {} \\ {} = \int x^{-1} \left( 2x - 2 \cdot 2^\frac{3}{6} 3^\frac{2}{6} x^\frac{5}{6} + \sqrt[3]{9} x^\frac{2}{3} \right) \, dx = {} \\ {} = \int \left( 2 - 2 \cdot 8^\frac{1}{6} 9^\frac{1}{6} x^{-\frac{1}{6}} + \sqrt[3]{9} x^{-\frac{1}{3}} \right) \, dx = {} \\ {} = 2 x - 2 \sqrt[6]{8 \cdot 9} \frac{x^{-\frac{1}{6}+1}}{-\frac{1}{6}+1} + \sqrt[3]{9} \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = {} \\ {} = 2 x - 2 \sqrt[6]{72} \cdot \frac{6}{5} x^\frac{5}{6} + \sqrt[3]{9} \cdot \frac{3}{2} x^\frac{2}{3} + C = 2 x - \frac{12}{5} \sqrt[6]{72 x^5} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{9 x^2} + C<br /> \end{multline*}<br />

Ответ: 
$\displaystyle 2 x - \frac{12}{5} \sqrt[6]{72 x^5} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{9 x^2} + C $