1639 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1639
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{x^2\,dx}{1+x^2} $

Добавим и вычтем в числителе единицу и разобьем интеграл на сумму двух:

\begin{multline*}<br /> \int\frac{x^2\,dx}{1+x^2} =\int\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}\,dx =\int\left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \, dx = {} \\ {} =\int dx - \int \frac{dx}{1+x^2} = x - \arctg x + C<br /> \end{multline*}

Теперь приведем пример того, как вычислить указанный неопределенный интеграл с помощью программы Maxima:

(%i47) f(x) := x^2 / (1 + x^2);
                                                                             2
                                                                            x
(%o47)                                                            f(x) := ------
                                                                               2
                                                                          1 + x
(%i48) integrate(f(x), x);
(%o48)                                                             x - atan(x)
Ответ: 
$\displaystyle x - \arctg x + C $