1642 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1642
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \, dx $

Выражение в знаменателе подинтегрального выражения преобразуем, воспользовавшись формулой для разности квадратов. Разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \, dx = \int \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1-x^2}} \, dx = {} \\ {} = \int \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1-x^2}} \, dx +<br /> \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1-x^2}} \, dx = {} \\ {} = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \arcsin x + \ln \left|x+\sqrt{x^2+1}\right| + C<br /> \end{multline*}<br />

Ответ: 
$\displaystyle \arcsin x + \ln \left|x+\sqrt{x^2+1}\right| + C $