1645 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1645
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{2^{x+1} - 5^{x-1}}{10^x} \, dx $

Преобразуем подинтегральное выражение, разобьем интеграл на два и обратимся к таблице простейших интегралов:

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{2^{x+1} - 5^{x-1}}{10^x} \, dx = \int \left(\frac{2 \cdot 2^x}{2^x \cdot 5^x} - \frac{\frac{1}{5} \cdot 5^x}{2^x \cdot 5^x} \right) \, dx = {} \\ {} = 2 \int \left(\frac{1}{5}\right)^x dx - \frac{1}{5} \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx = 2 \frac{\frac{1}{5^x}}{\ln \frac{1}{5}} - \frac{1}{5} \frac{\frac{1}{2^x}}{\ln \frac{1}{2}} + C = {} \\ {} = 2 \frac{5^{-x}}{- \ln 5} - \frac{1}{5} \frac{2^{-x}}{- \ln 2} + C = - \frac{2}{5^x \ln 5} + \frac{1}{2^x 5 \ln 2} + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример того, как вычислить указанный неопределенный интеграл с помощью программы Maxima:

(%i1) f(x) := (2^(x+1) - 5^(x-1)) / 10^x;
                                                                      x + 1    x - 1
                                                                     2      - 5
(%o1)                                                        f(x) := ---------------
                                                                             x
                                                                           10
(%i2) e_to_numlog = true;
(%o2)                                                           e_to_numlog = true
(%i3) integrate(f(x), x);
                                                            - log(2) x       - log(5) x
                                                          %e             2 %e
(%o3)                                                     ------------ - --------------
                                                            5 log(2)         log(5)
(%i4) radcan(%);
                                                                     x              x
                                                             log(5) 5  - 10 log(2) 2
(%o4)                                                        ------------------------
                                                                               x  x
                                                              5 log(2) log(5) 2  5
(%i5) expand(%);
                                                                  1            2
(%o5)                                                        ----------- - ---------
                                                                       x           x
                                                             5 log(2) 2    log(5) 5
Ответ: 
$\displaystyle - \frac{2}{5^x \ln 5} + \frac{1}{2^x 5 \ln 2} + C $