1648 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1648
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти при $ 0 \leqslant x \leqslant \pi $ следующий интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой для синуса двойного угла. Преобразуем подкоренное выражение с помощью формулы для квадрата разности. Далее, раскрывая модули, обратимся к таблице простейших интегралов:

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx =<br /> \int \sqrt{(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x} \, dx = {} \\ {} =<br /> \int \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} \, dx =<br /> \int |\sin x - \cos x| \, dx = {} \\ {} =<br /> \begin{cases}<br /> \int (\sin x - \cos x) \, dx, & \sin x - \cos x \geqslant 0 \\<br /> \int - (\sin x - \cos x) \, dx, & \sin x - \cos x < 0<br /> \end{cases}<br /> = {} \\ {} =<br /> \begin{cases}<br /> -\cos x - \sin x + C, & \sin x - \cos x \geqslant 0 \\<br /> -(-\cos x - \sin x) + C, & \sin x - \cos x < 0<br /> \end{cases} = {} \\ {} =<br /> \begin{cases}<br /> -(\cos x + \sin x) + C, & \sin x - \cos x \geqslant 0 \\<br /> \cos x + \sin x + C, & \sin x - \cos x < 0<br /> \end{cases} = {} \\ {} =<br /> - (\cos x + \sin x) \sgn (\sin x - \cos x) + C = {} \\ {} =<br /> (\cos x + \sin x) \sgn (\cos x - \sin x) + C<br /> \end{multline*}<br />

Здесь функция $ \sgn x $, как обычно, определена следующим образом:

<br /> \begin{equation*}<br /> \sgn x = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x > 0. \end{cases}<br /> \end{equation*}<br />

Ответ: 
$\displaystyle (\cos x + \sin x) \sgn (\cos x - \sin x) + C $