1649 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1649
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \ctg^2 x \, dx $

Выразим котангенс через синус и косинус, добавим и вычтем в числителе полученной дроби квадрат синуса, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \ctg^2 x \, dx =<br /> \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \, dx =<br /> \int \frac{(\cos^2 x + \sin^2 x) - \sin^2 x}{\sin^2 x} \, dx = {} \\ {} =<br /> \int \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \, dx =<br /> \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx - \int dx =<br /> -\ctg x - x + C<br /> \end{multline*}<br />

Либо можно непосредственно воспользоваться формулой $\displaystyle \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1 $, связывающей квадрат котангенса и квадрат синуса:

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \ctg^2 x \, dx =<br /> \int \left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right) \, dx =<br /> \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx - \int dx =<br /> -\ctg x - x + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример вычисления указанного неопределенного интеграла с помощью программы Maxima:

(%i2) integrate(cot(x)^2, x);
                                                                                1
(%o2)                                                        - atan(tan(x)) - ------
                                                                              tan(x)
(%i3) trigexpand(%), triginverses=all;
                                                                       1
(%o3)                                                              - ------ - x
                                                                     tan(x)
Ответ: 
$ -\ctg x - x + C $