1652 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1652
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \th^2 x \, dx $

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический тангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \th x = \frac{\sh x}{\ch x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического косинуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \th^2 x \, dx =<br /> \int \frac{\sh^2 x}{\ch^2 x} \, dx =<br /> \int \frac{(\sh^2 x - \ch^2 x) + \ch^2 x}{\ch^2 x} \, dx = {} \\ {} =<br /> \int \left(-\frac{\ch^2 x - \sh^2 x}{\ch^2 x} + 1\right) \, dx =<br /> - \int \frac{dx}{\ch^2 x} + \int dx =<br /> - \th x + x + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример того, как вычислить указанный неопределенный интеграл с помощью программы Maxima:

(%i2) integrate(tanh(x)^2, x);
                                                                      2
(%o2)                                                             --------- + x
                                                                    2 x
                                                                  %e    + 1
Ответ: 
$\displaystyle - \th x + x + C $