1653 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1653
Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \cth^2 x \, dx $

Решение этой задачи абсолютно аналогично решению задачи 1652.

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический котангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \cth x = \frac{\ch x}{\sh x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического синуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \cth^2 x \, dx =<br /> \int \frac{\ch^2 x}{\sh^2 x} \, dx =<br /> \int \frac{(\ch^2 x - \sh^2 x) + \sh^2 x}{\sh^2 x} \, dx = {} \\ {} =<br /> \int \left(\frac{\ch^2 x - \sh^2 x}{\sh^2 x} + 1\right) \, dx =<br /> \int \frac{dx}{\sh^2 x} + \int dx =<br /> - \cth x + x + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример того, как выполнить решение указанного неопределенного интеграла с помощью программы Maxima:

(%i15) integrate(coth(x)^2, x);
                                                                          2
(%o15)                                                            x - ---------
                                                                        2 x
                                                                      %e    - 1
Ответ: 
$\displaystyle - \cth x + x + C $