1661 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1661
Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2+3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1662.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{dx}{2+3x^2} =<br /> \int \frac{dx}{2\left(1+\frac{3}{2}x^2\right)} =<br /> \frac{1}{2} \int \frac{dx}{1+\left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2} \, dx = {} \\ {} =<br /> \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} \, dt}{1+t^2} \, dx =<br /> \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2^2\cdot 3}} \int \frac{dt}{1+t^2} = {} \\ {} =<br /> \frac{1}{\sqrt{6}} \arctg t + C =<br /> \frac{1}{\sqrt{6}} \arctg \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + C<br /> \end{multline*}<br />

Отметим, что решение этой задачи очень похоже на решение задач 1662, 1663 и 1664 (ссылки на них можно найти в расположенном справа (→) блоке «Похожие задачи»)

Теперь приведем пример того, как вычислить указанный неопределенный интеграл с помощью программы Maxima:

(%i5) integrate(1/(2+3*x^2), x);
                                        3 x
                                 atan(-------)
                                      sqrt(6)
(%o5)                            -------------
                                    sqrt(6)
Ответ: 
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}} \arctg \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + C $