1666 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1666
Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx $

Представим интеграл в виде суммы двух:
$\displaystyle<br /> \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx = \int \sin 5x \, dx - \int \sin 5\alpha \, dx<br /> $

Очевидно, что в первом интеграле нужно сделать замену $ t=5x $ (при этом $ dt = 5dx $, а значит $ dx = \frac{1}{5}dt $). Обратим внимание, что выражение под знаком второго интеграла является константой, и поэтому интеграл легко вычисляется.

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \sin 5x \, dx - \int \sin 5\alpha \, dx = \int \sin t \, \left(\frac{1}{5}dt\right) - \sin 5\alpha \int dx = \\ = \frac{1}{5} \int \sin t \, dt - \sin 5\alpha \cdot x<br /> \end{multline*}<br />

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»):
$\displaystyle<br /> \frac{1}{5} \int \sin t \, dt - x \sin 5\alpha = -\frac{1}{5} \cos t - x \sin 5\alpha + C = -\frac{1}{5} \cos 5x - x \sin 5\alpha + C<br /> $

Теперь приведем пример вычисления первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i3) integrate((sin(5*x)-sin(5*alpha)), x);
                            cos(5 x)
(%o3)                     - -------- - sin(5 alpha) x
                               5

Для вычисления указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate (sin(5*x)-sin(5*alpha)) dx
Ответ: 
$\displaystyle -\frac{1}{5} \cos 5x - x \sin 5\alpha + C $