1668 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1668
Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{dx}{1+\cos x} =<br /> \int \frac{dx}{1+\left(2\cos^2 \frac{x}{2} - 1\right)} = \\ =<br /> \int \frac{dx}{2\cos^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2\,dt}{2\cos^2 t} =<br /> \int \frac{dt}{\cos^2 t}<br /> \end{multline*}<br />

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»):
$\displaystyle<br /> \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \tg t + C = \tg \frac{x}{2} + C<br /> $

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i5) integrate(1/(1+cos(x)), x);
                                    sin(x)
(%o5)                             ----------
                                  cos(x) + 1

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate 1/(1+cos(x)) dx
Ответ: 
$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + C $