1671 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1671
Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int [\sh(2x+1)+\ch(2x-1)] \, dx $

Разобьем интеграл на сумму двух. В первом из полученных интегралов сделаем замену $ t = 2x+1 $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = dt/2 $). Во втором интеграле выполним замену $ s = 2x-1 $ (при этом $ ds = 2 \, dx $, а значит $ dx = ds/2 $).

<br /> \begin{multline*}<br /> \int [\sh(2x+1)+\ch(2x-1)] \, dx =<br /> \int \sh(2x+1) \, dx + \int \ch(2x-1) \, dx = \\ =<br /> \int \sh t \, \frac{dt}{2} + \int \ch s \, \frac{ds}{2} =<br /> \frac{1}{2}\left[ \int \sh t \, dt + \int \ch s \, ds \right]<br /> \end{multline*}<br />

После выполнения замен переменных мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»):
<br /> \begin{multline*}<br /> \frac{1}{2}\left[ \int \sh t \, dt + \int \ch s \, ds \right] =<br /> \frac{1}{2}[ \ch t + \sh s ] + C = \\ =<br /> \frac{1}{2}[ \ch (2x+1) + \sh (2x-1) ] + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i7) integrate((sinh(2*x+1)+cosh(2*x-1)), x);
                         cosh(2 x + 1)   sinh(2 x - 1)
(%o7)                    ------------- + -------------
                               2               2

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate (sinh(2*x+1)+cosh(2*x-1)) dx
Ответ: 
$\displaystyle \frac{1}{2}[ \ch (2x+1) + \sh (2x-1) ] + C $