1674 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1674
Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} $

Выполним замену $ t = 1 - x^2 $, при этом $ dt = -2 x\, dx $. Заметим, что тогда выражение в числителе подынтегрального выражения есть $ -dt/2 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} =<br /> \int \frac{-dt/2}{\sqrt{t}} =<br /> - \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt<br /> $

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»), чтобы найти первообразную степенной функции:
<br /> \begin{multline*}<br /> - \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt =<br /> - \frac{1}{2} \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C =<br /> - \frac{1}{2} \frac{t^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + C = \\ =<br /> - t^\frac{1}{2} + C =<br /> - \sqrt{t} + C =<br /> - \sqrt{1-x^2} + C<br /> \end{multline*}<br />

При должном навыке этот же интеграл можно вычислить, изменяя выражение под знаком дифференциала и не выписывая явным образом последовательность действий, отвечающую замене переменной:
<br /> \begin{multline*}<br /> \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} =<br /> \frac{1}{2}\int \frac{dx^2}{\sqrt{1-x^2}} =<br /> -\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = \\ =<br /> -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{1-x^2} + C =<br /> - \sqrt{1-x^2} + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i1) integrate(x/sqrt(1-x^2),x);
                                            2
(%o1)                           - sqrt(1 - x )

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate x/sqrt(1-x^2) dx
Ответ: 
$\displaystyle - \sqrt{1-x^2} + C $