1677 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1677
Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} $

Сделаем замену $ t = 1+x^2 $, при этом $ dt = 2 x \, dx $. Заметим, что тогда числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения будет равен $ \frac{dt}{2} $.

$\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} = \int \frac{\frac{dt}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} \, dt $

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»), чтобы найти первообразную степенной функции:
$\displaystyle<br /> \frac{1}{2} \int t^{-2} \, dt =<br /> \frac{1}{2} \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C =<br /> \frac{1}{2} \frac{t^{-1}}{-1} + C =<br /> - \frac{1}{2t} + C =<br /> - \frac{1}{2(1+x^2)} + C<br /> $

При должном навыке этот же интеграл можно вычислить, изменяя выражение под знаком дифференциала и не выписывая явным образом последовательность действий, отвечающую замене переменной:
$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} =<br /> \frac{1}{2} \int \frac{d(1+x^2)}{(1+x^2)^2} =<br /> \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{1+x^2} + C<br /> $

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i1) integrate(x/(1+x^2)^2, x);
                                       1
(%o1)                            - ----------
                                       2
                                   2 (x  + 1)

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate (x/(1+x^2)^2) dx
Ответ: 
$\displaystyle - \frac{1}{2(1+x^2)} + C $