1678 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1678
Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{4+x^4} $

Сделаем замену $ t = x^2/2 $, при этом $ dt = x \, dx $. Заметим, что это в точности есть числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения.

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^4} =<br /> \int \frac{dt}{4+4t^2} =<br /> \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2}<br /> $$

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»), чтобы найти первообразную данной функции:

$$<br /> \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2} =<br /> \frac{1}{4} \arctg t + C =<br /> \frac{1}{4} \arctg \frac{x^2}{2} + C<br /> $$

При должном навыке этот же интеграл можно вычислить, изменяя выражение под знаком дифференциала и не выписывая явным образом последовательность действий, отвечающую замене переменной:

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^4} =<br /> \frac{1}{4}\int \frac{d\frac{x^2}{2}}{1+\left(\frac{x^2}{2}\right)^2} =<br /> \frac{1}{4}\int \arctg \frac{x^2}{2} + C<br /> $$

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i1) integrate(x/(4+x^4), x);
                                         2
                                        x
                                   atan(--)
                                        2
(%o1)                              --------
                                      4

Обратите внимание, что функция арктангенса в программе Maxima обозначается как atan.

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate (x/(4+x^4)) dx

Следует отметить, что в некоторых изданиях учебного пособия Б.П.Демидовича «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» при записи условия этой задачи допущена опечатка: в знаменателе подынтегрального выражения, показатель степени у переменной $ x $ равен $ 2 $, а не $ 4 $, как должно быть. Покажем, как вычисляется интеграл в этом случае.

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^2} =<br /> \int \frac{\frac{dt}{2}}{t} =<br /> \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} =<br /> \frac{1}{2}\ln|t| + C =<br /> \frac{1}{2}\ln(4+x^2) + C<br /> $$

Здесь мы выполнили замену $ t = 4+x^2 $, при этом $ dt = 2x \, dx $, отсюда $ x \, dx = dt / 2 $, и это совпадает с числителем исходного подынтегрального выражения. Интеграл от полученной подынтегральной функции, выражающей обратную пропорциональность, мы вычислили, обратившись к таблице простейших неопределенных интегралов.

Конечно, этот же интеграл можно было бы вычислить и без расписывания процесса замены переменной:

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^2} =<br /> \frac{1}{2}\int \frac{d(4+x^2)}{4+x^2} =<br /> \frac{1}{2}\ln(4+x^2) + C<br /> $$
Ответ: 
$\displaystyle \frac{1}{4} \arctg \frac{x^2}{2} $