1680 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1680
Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} $

Сделаем замену $ t = \sqrt{x} $, при этом $ dt = dx / 2\sqrt{x} $. Отсюда выражение $ dx / \sqrt{x} $ из подынтегрального выражения есть $ 2 dt $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} =<br /> \int \frac{\frac{dx}{\sqrt{x}}}{1+(\sqrt{x})^2} =<br /> \int \frac{2dt}{1+t^2} =<br /> 2\int \frac{dt}{1+t^2}<br /> $

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»), чтобы найти первообразную данной функции:
$\displaystyle<br /> 2\int \frac{dt}{1+t^2} =<br /> 2\arctg t + C =<br /> 2\arctg \sqrt{x} + C<br /> $

При должном навыке этот же интеграл можно вычислить, изменяя выражение под знаком дифференциала и не выписывая явным образом последовательность действий, отвечающую замене переменной:
$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} =<br /> \int \frac{2 \, d\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2} =<br /> 2 \arctg \sqrt{x} + C<br /> $

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i1) integrate(1/((1+x)*sqrt(x)), x);
(%o1)                           2 atan(sqrt(x))

Обратите внимание, что функция арктангенса в программе Maxima обозначается как atan, а квадратный корень — как sqrt.

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate 1/((1+x)*sqrt(x)) dx
Ответ: 
$\displaystyle 2 \arctg \sqrt{x} + C $