1682 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
1682
Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} $

Домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на $ x $:
$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Теперь заметим, что
$\displaystyle<br /> d\sqrt{x^2+1} = \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Поэтому сделаем замену $ t = \sqrt{x^2+1} $, тогда $ x^2 = t^2-1 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} =<br /> \int \frac{dt}{t^2-1} =<br /> - \int \frac{dt}{1-t^2}<br /> $

После выполнения замены переменной мы обращаемся к таблице основных неопределенных интегралов (ссылку на нее можно найти в расположенном справа (→) блоке «Теория по теме»), чтобы найти первообразную данной функции:
$\displaystyle<br /> - \int \frac{dt}{1-t^2} =<br /> - \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C =<br /> - \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{1-\sqrt{x^2+1}}\right| + C<br /> $

Домножим числитель и знаменатель аргумента логарифмической функции на $ 1+\sqrt{x^2+1} $ (при этом в знаменателе мы воспользуемся формулой разности квадратов) и занесем дробь $ \frac{1}{2} $ под знак логарифма (при этом она превратится в квадратный корень).
<br /> \begin{multline*}<br /> - \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{1-\sqrt{x^2+1}}\right| + C =<br /> - \frac{1}{2} \ln \left|\frac{(1+\sqrt{x^2+1})^2}{1-(x^2+1)}\right| + C = \\ =<br /> - \ln \sqrt{\frac{(1+\sqrt{x^2+1})^2}{x^2}} + C =<br /> - \ln \left|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right| + C<br /> \end{multline*}<br />

Теперь приведем пример вычисления необходимой нам первообразной с помощью программы Maxima (для этого служит команда integrate):

(%i1) integrate(1/(x*sqrt(x^2+1)), x);
                                          1
(%o1)                           - asinh(------)
                                        abs(x)

Обратите внимание, что Maxima выражает ответ через гиперболический арксинус (функция asinh), а в знаменателе его аргумента стоит абсолютная величина $ x $ (функция abs).

Для нахождения указанного неопределенного интеграла с помощью онлайн-решателя Wolfram|Alpha можно воспользоваться следующим запросом:

integrate (1/(x*sqrt(x^2+1))) dx
Ответ: 
$\displaystyle - \ln \left|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right| + C $