3 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
3
Условие: 
Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливо следующее равенство: $\displaystyle 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2 $

При n=1 равенство очевидно. Действительно, $ 1^3 = 1^2 $.

Из решения задачи 1 мы знаем, что

$$<br /> 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}<br /> $$

поэтому исходное равенство можно переписать как

$$<br /> 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2<br /> $$

Итак, допустим, что равенство верно для n. Докажем, что тогда оно верно и для n+1:

\begin{multline*}<br /> (1^3 + 2^3 + \dots + n^3) + (n + 1)^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = {} \\ {} = \frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2[n^2 + 4(n+1)]}{4} = {} \\ {} = \frac{(n+1)^2(n^2 + 4n+4)}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} = \left(\frac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}\right)^2<br /> \end{multline*}

Таким образом, исходное равенство верно для n+1:

\begin{multline*}<br /> 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 + (n + 1)^3 = \left(\frac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}\right)^2 = {} \\ {} = [1 + 2 + \dots + n + (n+1)]^2<br /> \end{multline*}

и значит исходное равенство верно для любого n, что и требовалось доказать.

Теперь приведем пример того, как найти указанную конечную сумму с помощью программы Maxima:

(%i11) sum(i^3, i, 1, n), simpsum;
                                 4      3    2
                                n  + 2 n  + n
(%o11)                          --------------
                                      4