3213 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
3213
Условие: 
Найти частные производные первого и второго порядка от функции $ u=x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2 $

Дифференцируя по $ x $, рассматриваем переменную $ y $ как фиксированный параметр; а дифференцируя по переменной $ y $, рассматриваем как параметр — $ x $:

\begin{align*}<br /> u'_x & = 4 x^3 - 8 x y^2, \\<br /> u''_{xx} & = 12 x^2 -8 y^2, \\<br /> u'_y & = 4 y^3 - 8 x^2 y, \\<br /> u''_{yy} & = 12 y^2 - 8 x^2, \\<br /> u''_{xy} & = (u'_x)'_y = - 16 xy, \\<br /> u''_{yx} & = (u'_y)'_x = - 16 xy.<br /> \end{align*}

Теперь приведем пример того, как найти указанные частные производные с помощью программы Maxima:

(%i23) u(x,y) := x^4 + y^4 - 4*x^2*y^2;
                                                                     4    4          2  2
(%o23)                                                   u(x, y) := x  + y  + (- 4) x  y
(%i24) diff(u(x,y), x);
                                                                     3        2
(%o24)                                                            4 x  - 8 x y
(%i26) diff(u(x,y), x, 2);
                                                                       2      2
(%o26)                                                             12 x  - 8 y
(%i27) diff(u(x,y), y);
                                                                     3      2
(%o27)                                                            4 y  - 8 x  y
(%i28) diff(u(x,y), y, 2);
                                                                       2      2
(%o28)                                                             12 y  - 8 x
(%i30) diff(u(x,y), x, 1, y, 1);
(%o30)                                                               - 16 x y
(%i31) diff(u(x,y), y, 1, x, 1);
(%o31)                                                               - 16 x y