3846 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
3846
Условие: 
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующий интеграл: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \cos^4 x \, dx $

Воспользуемся решением задачи 3856:

$\displaystyle<br /> \mathrm{I} = \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \cos^4 x \, dx =<br /> \frac{1}{2} \mathrm{B} \left(\frac{6+1}{2}, \frac{4+1}{2}\right)<br /> $

Теперь применим формулу, выражающую связь между интегралами Эйлера:

$\displaystyle<br /> \mathrm{I} = \frac{1}{2} \mathrm{B} \left(\frac{6+1}{2}, \frac{4+1}{2}\right) =<br /> \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{7}{2} + \frac{5}{2}\right)} =<br /> \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(6)}<br /> $

Упростим полученное выражение, применив формулу понижения $ \Gamma(n+1) = n \Gamma(n) $ и помня, что $ \Gamma(1) = 1 $ (отсюда $ \Gamma(n+1) = n! $), а $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $:

\begin{multline*}<br /> \mathrm{I} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma(6)} =<br /> \frac{1}{2} \frac{\frac{5}{2}\left[\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\right]^2}{5!} =<br /> \frac{5}{2^2 \cdot 5!} \left[\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right]^2 = {} \\ {} =<br /> \frac{5 \cdot 3^2 \left(\sqrt{\pi}\right)^2}{2^2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (2^2)^2} =<br /> \frac{3 \pi}{2^9}<br /> \end{multline*}

Теперь приведем пример того, как выполнить решение указанного определенного интеграла с помощью программы Maxima:

(%i34) f(x) := sin(x)^6 * cos(x)^4;
                                                                        6       4
(%o34)                                                       f(x) := sin (x) cos (x)
(%i35) integrate(f(x), x, 0, %pi/2);
                                                                      3 %pi
(%o35)                                                                -----
                                                                       512
Ответ: 
$\displaystyle \frac{3 \pi}{512} $