65 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
65
Условие: 
Доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $

Покажем, что $ \forall \varepsilon > 0 $ найдется номер $ N \in \mathbb{N} $ такой, что при $ n > N $ будет выполняться $ |\sqrt[n]{n} - 1| < \varepsilon $, т.е. что последовательность $ \{\sqrt[n]{n} - 1\} $ является бесконечно малой.

$$<br /> n \equiv (\sqrt[n]{n})^n = (1 + \sqrt[n]{n} - 1)^n = (1 + (\sqrt[n]{n} - 1))^n = \ldots<br /> $$

Воспользуемся формулой для бинома Ньютона

\begin{multline*}<br /> \ldots = 1 + n (\sqrt[n]{n} - 1) + \frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n} - 1)^2 + \ldots + (\sqrt[n]{n} - 1)^n > {} \\ {} > \frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n} - 1)^2<br /> \end{multline*}

Последнюю оценку мы получили, отбросив все слагаемые, кроме третьего. Итак,

$$<br /> n > \frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n} - 1)^2<br /> $$

Отсюда непосредственно следует, что

$$<br /> |\sqrt[n]{n} - 1| < \sqrt{\frac{2}{n-1}} < \varepsilon<br /> $$

при $ n > N \geqslant 1 + \frac{2}{\varepsilon^2} $

Теперь покажем, как вычислить этот предел с помощью программы Maxima:

(%i17) limit(n^(1/n), n, inf);
(%o17)                                 1