66 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Номер: 
66
Условие: 
Доказать следующее равенство: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 $

Сначала докажем, что для любого $ k \geqslant 0 $ верно следующее утверждение: $\displaystyle k! > \left(\frac{k}{e}\right)^k $. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Для k=1 неравенство с очевидностью верно (действительно, $\displaystyle 1! > \left(\frac{1}{e}\right)^1 $). Пусть оно верно для некоторого $ k \in \mathbb{N} $. Покажем, что оно верно и для k+1.

$\displaystyle (k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \left(\frac{k}{e}\right)^k $

Сравним последнее выражение с $ \left(\frac{k+1}{e}\right)^{k+1} $:

$\displaystyle \left. (k+1) \left(\frac{k}{e}\right)^k \right/ \left(\frac{k+1}{e}\right)^{k+1} = \frac{e k^k}{(k+1)^k} = \frac{e}{\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k} > 1 $, т.к. $ \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < e $ (последнее неравенство устанавливается в курсе математического анализа из того что последовательность $ x_k = \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k $ является возрастающей и ограниченной сверху)

Отсюда $\displaystyle (k+1)! > \left(\frac{k+1}{e}\right)^{k+1} $, и утверждение доказано.

Теперь вернемся к исходному заданию. Исходя из доказанного утверждения, имеем:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} < \frac{1}{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n}} = \frac{e}{n} $

Так как $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{e}{n} = 0 $, то и $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 $, что и требовалось доказать.

Теперь покажем, как вычислить этот предел с помощью программы Maxima:

(%i18) limit(1/((n!)^(1/n)), n, inf);
(%o18)                                 0