1.1 — Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович «Сборник задач по теории функций комплексного переменного»

Номер: 
1.1
Условие: 
Выполнить указанные действия:
  1. $\displaystyle \frac{1}{i} $
  2. $\displaystyle \frac{1-i}{1+i} $
  3. $\displaystyle \frac{2}{1-3i} $
  4. $\displaystyle (1+i\sqrt{3})^3 $
  1. Домножим числитель и знаменатель на $ i $:
    $\displaystyle \frac{1}{i} = \frac{i}{i \cdot i} = \frac{i}{-1} = -i $
  2. Домножим числитель и знаменатель на $ 1-i $:
    $\displaystyle \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1-2i-1}{1-(-1)} = \frac{-2i}{2}=i $
  3. Домножим числитель и знаменатель на $ 1+3i $:
    \begin{multline*}\frac{2}{1-3i} = \frac{2(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{2(1+3i)}{1-9i^2} = {} \\ {} = \frac{2(1+3i)}{1-9\cdot(-1)} = \frac{2(1+3i)}{10} = \frac{1}{5}(1+3i) \end{multline*}
  4. Воспользуемся формулой для куба суммы:
    \begin{multline*}(1+i\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i\sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (i\sqrt{3})^2 + (i\sqrt{3})^3 = {} \\ {} = 1 + 3 i \sqrt{3} - 3 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3} = -8\end{multline*}
Ответ: 
  1. $\displaystyle -i $
  2. $\displaystyle -i $
  3. $\displaystyle \frac{1}{5}(1+3i) $
  4. $\displaystyle -8 $