1.2 — Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович «Сборник задач по теории функций комплексного переменного»

Номер:

1.2

Условие:

Найти модули и аргументы указанных комплексных чисел

$z=3i$
$|z|=\sqrt{0^2 + 3^2} = 3$
$\Re z = 0, \Im z > 0 \Rightarrow \arg z = \frac{\pi}{2}$
$z=-2$
$|z| = 2$
$\Re z < 0, \Im z = 0 \Rightarrow \arg z = -\pi$
$z = 1+i$
$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\Re z > 0, \Im z > 0 \Rightarrow \arg z = \arctg\frac{\Im z}{\Re z} = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}$
$z = -1 - i$
$|z| = \sqrt{2}$
$\Re z < 0, \Im z < 0 \Rightarrow \arg z = -\pi + \arctg \frac{\Im z}{\Re z} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$
$z=2+5i$
$|z| = \sqrt{2^2+5^2} = \sqrt{29}$
$\Re z > 0, \Im z > 0 \Rightarrow \arg z = \arctg \frac{5}{2}$
$z=2-5i$
$|z| = \sqrt{29}$
$\Re z > 0, \Im z < 0 \Rightarrow \arg z = \arctg \frac{-5}{2} = - \arctg \frac{5}{2}$
$z=-2+5i$
$|z| = \sqrt{29}$
$\Re z < 0, \Im z > 0 \Rightarrow \arg z = \pi + \arctg \frac{5}{-2} = \pi - \arctg \frac{5}{2}$
$z=-2-5i$
$|z| = \sqrt{29}$
$\Re z < 0, \Im z < 0 \Rightarrow \arg z = - \pi + \arctg \frac{-5}{-2} = - \pi + \arctg \frac{5}{2}$
$z = bi$ , где $b \in \mathbb{R}$ и $b \ne 0$
$|z| = \sqrt{0^2 + b^2} = |b|$
$\displaystyle \Re z = 0 \Rightarrow \arg z = \begin{cases} -\pi/2, & \Re z = b < 0 \\ +\pi/2, & \Re z = b > 0 \end{cases} = \frac{\pi}{2} \sgn b$
$z = a + bi$ , где $a, b \in \mathbb{R}$ и $a \ne 0$
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\displaystyle \arg z = \begin{cases} \arctg \frac{b}{a}, & a > 0, \\ \pi + \arctg \frac{b}{a}, & a < 0, b > 0, \\ -\pi + \arctg \frac{b}{a}, & a < 0, b < 0\end{cases}$

Антидемидович.RU