Интегральное исчисление

Задачи на интегральное исчисление

1682 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} $

Домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на $ x $:
$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Теперь заметим, что
$\displaystyle<br /> d\sqrt{x^2+1} = \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Поэтому сделаем замену $ t = \sqrt{x^2+1} $, тогда $ x^2 = t^2-1 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} =<br /> \int \frac{dt}{t^2-1} =<br /> - \int \frac{dt}{1-t^2}<br /> $

1680 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} $

Сделаем замену $ t = \sqrt{x} $, при этом $ dt = dx / 2\sqrt{x} $. Отсюда выражение $ dx / \sqrt{x} $ из подынтегрального выражения есть $ 2 dt $.

1679 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^3 \, dx}{x^8-2} $

Сделаем замену $ t = x^4/\sqrt{2} $, при этом $ dt = 2\sqrt{2} \, x^3 \, dx $. Отсюда числитель подынтегрального выражения $ x^3 \, dx $ равен $ dt / 2\sqrt{2} $.

1678 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{4+x^4} $

Сделаем замену $ t = x^2/2 $, при этом $ dt = x \, dx $. Заметим, что это в точности есть числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения.

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^4} =<br /> \int \frac{dt}{4+4t^2} =<br /> \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2}<br /> $$

1677 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} $

Сделаем замену $ t = 1+x^2 $, при этом $ dt = 2 x \, dx $. Заметим, что тогда числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения будет равен $ \frac{dt}{2} $.

$\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} = \int \frac{\frac{dt}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} \, dt $

1676 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{3-2x^2} $

Осуществим замену $ t = 3-2x^2 $, при этом $ dt = -4 x \, dx $. Заметим, что тогда в подынтегральном выражении числитель $ x \, dx $ будет равен $ -\frac{dt}{4} $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{3-2x^2} =<br /> \int \frac{-\frac{dt}{4}}{t} =<br /> -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t}<br /> $

1675 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int x^2 \sqrt[3]{1+x^3} \, dx $

Сделаем замену $ t = 1 + x^3 $, при этом $ dt = 3 x^2 \, dx $. Заметим, что тогда множитель $ x^2 \, dx $ из подынтегрального выражения будет равен $ \frac{dt}{3} $.

1674 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} $

Выполним замену $ t = 1 - x^2 $, при этом $ dt = -2 x\, dx $. Заметим, что тогда выражение в числителе подынтегрального выражения есть $ -dt/2 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} =<br /> \int \frac{-dt/2}{\sqrt{t}} =<br /> - \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt<br /> $

1672 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\ch^2 \frac{x}{2}} $

Сделаем замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\ch^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\ch^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\ch^2 t}<br /> $

1673 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} $

Сделаем замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\sh^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\sh^2 t}<br /> $

RSS: отслеживать публикацию материалов