арктангенс

1680 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} $

Сделаем замену $ t = \sqrt{x} $, при этом $ dt = dx / 2\sqrt{x} $. Отсюда выражение $ dx / \sqrt{x} $ из подынтегрального выражения есть $ 2 dt $.

1678 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{4+x^4} $

Сделаем замену $ t = x^2/2 $, при этом $ dt = x \, dx $. Заметим, что это в точности есть числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения.

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^4} =<br /> \int \frac{dt}{4+4t^2} =<br /> \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2}<br /> $$

Таблица арктангенсов

В следующей таблице приведены значения функции арктангенса для некоторых значений углов:

$\displaystyle x $ $\displaystyle -\sqrt{3} $ $\displaystyle -1 $ $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} $ $\displaystyle 0 $ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} $ $\displaystyle 1 $ $\displaystyle \sqrt{3} $
$\displaystyle \arctg x $ $\displaystyle -\frac{\pi}{3} $ $\displaystyle -\frac{\pi}{4} $ $\displaystyle -\frac{\pi}{6} $ $\displaystyle 0 $ $\displaystyle \frac{\pi}{6} $ $\displaystyle \frac{\pi}{4} $ $\displaystyle \frac{\pi}{3} $

Таблицы значений обратных тригонометрических функций

В следующих таблицах приведены значения функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов:

1661 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2+3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1662.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1639 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{x^2\,dx}{1+x^2} $

Добавим и вычтем в числителе единицу и разобьем интеграл на сумму двух:

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа

Производные простейших элементарных функций

  • $\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1} $ ($ x > 0 $ и $ n $ — постоянное число) — степенная функция
  • $\displaystyle (\sin x)' = \cos x $ — синус
RSS: отслеживать публикацию материалов