дифференцирование

Правило дифференцирования сложной функции

Если функции $ y = f(x) $ и $ x = \varphi(t) $ имеют производные, тогда производная сложной функции $ y = f[\varphi(t)] $ по аргументу $ t $ выражается следующим образом:

$$<br /> \frac{d}{dt} f[\varphi(t)] = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}<br /> $$

или

$$<br /> \left(f[\varphi(t)]\right)' = f'(x) \, \varphi'(t)<br /> $$

Дифференцирование частного

Если функции $ u(x) $ и $ v(x) $ дифференцируемы в данной точке $ x $ (т.е. имеют в этой точке производные), то при $ v(x) \ne 0 $ частное этих функций $ u/v $ также является дифференцируемой функцией, и имеет место формула

\begin{equation*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{equation*}

3257 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти частную производную $\displaystyle \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} $ функции $ u = x \ln (xy) $

При $ xy > 0 $ получаем

3213 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти частные производные первого и второго порядка от функции $ u=x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2 $

Дифференцируя по $ x $, рассматриваем переменную $ y $ как фиксированный параметр; а дифференцируя по переменной $ y $, рассматриваем как параметр — $ x $:

845 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти производную функции $\displaystyle \frac{2x}{1-x^2} $

Воспользуемся формулой для дифференцирования частного $ u/v $ при $ v \ne 0 $:

$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

RSS: отслеживать публикацию материалов