Биномом Ньютона называется следующая формула:

Факториал числа (обозначается ) — произведение всех натуральных чисел до включительно:

По определению полагают, что .

Условие: 

Доказать следующее равенство:

Сначала докажем, что для любого верно следующее утверждение: . Для этого воспользуемся методом математической индукции. Для k=1 неравенство с очевидностью верно (действительно, ). Пусть оно верно для некоторого . Покажем, что оно верно и для k+1.

Основное свойство гамма-функции Эйлера выражает формула понижения: .

Если — натуральное, то

Условие: 

С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующий интеграл:

Воспользуемся решением задачи 3856: