гамма-функция

Формула связи между эйлеровыми интегралами

$\displaystyle B(x,y)=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

Формула понижения (основное свойство гамма-функции Эйлера)

Основное свойство гамма-функции Эйлера выражает формула понижения: $\displaystyle \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$ .

Если $n$ — натуральное, то $\displaystyle \Gamma(n+1) = n \Gamma(n) = n!$

Гамма-функция Эйлера

Гамма-функцией Эйлера называется зависящий от параметра $x>0$ интеграл $\displaystyle \Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt$ .

Легко вычислить, что $\Gamma(1) = 1$ и $\Gamma\left(\frac{1}{2}\left) = \sqrt{\pi}$ .

3846 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующий интеграл: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \cos^4 x \, dx$

Воспользуемся решением задачи 3856:

Читать дальше