гиперболический котангенс

1673 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}}$

Сделаем замену $t = x/2$ (при этом $dt = dx/2$ , а значит $dx = 2 \, dt$ ).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\sh^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\sh^2 t}<br />$

Условие:

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \cth^2 x \, dx$

Решение этой задачи абсолютно аналогично решению задачи 1652.

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

выразим гиперболический котангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \cth x = \frac{\ch x}{\sh x}$
в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического синуса
воспользуемся формулой $\ch^2 x - \sh^2 x = 1$ , связывающей гиперболические синус и косинус
разобьем интеграл на сумму двух
обратимся к таблице простейших интегралов