гиперболический синус

Гиперболический косинус

Гиперболический косинус задается следующей формулой:

$$<br /> \ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}<br /> $$

Гиперболический синус

Гиперболический синус задается следующей формулой:

$$<br /> \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}<br /> $$

1673 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} $

Сделаем замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\sh^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\sh^2 t}<br /> $

1671 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int [\sh(2x+1)+\ch(2x-1)] \, dx $

Разобьем интеграл на сумму двух. В первом из полученных интегралов сделаем замену $ t = 2x+1 $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = dt/2 $). Во втором интеграле выполним замену $ s = 2x-1 $ (при этом $ ds = 2 \, dx $, а значит $ dx = ds/2 $).

1652 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \th^2 x \, dx $

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический тангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \th x = \frac{\sh x}{\ch x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического косинуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

1653 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \cth^2 x \, dx $

Решение этой задачи абсолютно аналогично решению задачи 1652.

Интегрируем, применяя следующую последовательность действий:

  • выразим гиперболический котангенс через гиперболические синус и косинус по формуле $\displaystyle \cth x = \frac{\ch x}{\sh x} $
  • в числителе подинтегрального выражения прибавим и вычтем квадрат гиперболического синуса
  • воспользуемся формулой $ \ch^2 x - \sh^2 x = 1 $, связывающей гиперболические синус и косинус
  • разобьем интеграл на сумму двух
  • обратимся к таблице простейших интегралов

1651 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int (a \sh x + b \ch x) \, dx $

Разобьем интеграл на сумму двух, вынесем постоянные коэффициенты за знак интеграла и обратимся к таблице простейших интегралов:

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа

Производные простейших элементарных функций

  • $\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1} $ ($ x > 0 $ и $ n $ — постоянное число) — степенная функция
  • $\displaystyle (\sin x)' = \cos x $ — синус
RSS: отслеживать публикацию материалов