интеграл фурье

3882 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Представить интегралом Фурье следующую функцию: $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sgn x, & |x| < 1, \\ 0, & |x| > 1. \end{cases} $

Напомним, что функция $ \sgn x $ определяется следующим образом:

$$<br /> \sgn x = \begin{cases} +1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}<br /> $$

Для $ f(x) $ выполнены все условия для возможности ее представления интегралом Фурье: она задана на всей действительной оси, вместе со свой производной она непрерывна на каждом конечном промежутке, абсолютно интегрируема на интервале $ (-\infty, +\infty) $.

3881 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Представить интегралом Фурье следующую функцию: $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если} |x| < 1; \\ 0, & \text{если} |x| > 1. \end{cases} $

Функция $ f(x) $ представляет собой «ступеньку»: она принимает значение единица внутри интервала (-1, 1), и ее значение равно нулю вне сегмента [-1, 1], т.е. точки -1 и 1 являются точками разрыва первого рода. Таким образом, функцию можно представить интегралом Фурье.

Интегральная формула Фурье

Пусть выполняются следующие условия:

  1. функция $ f(x) $ задана на оси $ -\infty < x < +\infty $,
  2. кусочно-непрерывна вместе со своей производной $ f'(x) $ на каждом конечном промежутке,
  3. абсолютно интегрируема на интервале $ (-\infty, +\infty) $.

Тогда во всех своих точках непрерывности она допускает представление в форме интеграла Фурье:

$$<br /> f(x) = \int_0^\infty \bigl[a(\lambda) \cos (\lambda x) + b(\lambda) \sin (\lambda x)\bigr] \, d\lambda<br /> $$
RSS: отслеживать публикацию материалов