интегрирование

Интегрирование заменой переменной

Пусть $ f(x) $ — непрерывная функция. Если $ x $ можно представить как $ x=\varphi(t) $, где $ \varphi(t) $ — непрерывная вместе со своей производной $ \varphi'(t) $ функция, то справедлива формула интегрирования заменой переменной:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = \int f[\varphi(t)] \, \varphi'(t) \, dt $

Так как $ \varphi'(t) \, dt = d\varphi $, то формулу можно переписать в виде

$\displaystyle \int f(x) \, dx = \int f(\varphi) \, d\varphi $

Интегрирование по частям

Если $ u $ и $ v $ — некоторые дифференцируемые функции от $ x $, то справедлива формула

$\displaystyle \int u(x) \, v'(x) \, dx = u(x) \, v(x) - \int u'(x) \, v(x) \, dx $

Так как $ v'(x) \, dx = dv $ и $ u'(x) \, dx = du $, то формулу можно переписать в виде

$\displaystyle \int u \, dv = u v - \int v \, du $

3846 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующий интеграл: $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x \cos^4 x \, dx $

Воспользуемся решением задачи 3856:

1629 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int x^2(5-x)^4 \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1630 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int (1-x)(1-2x)(1-3x) \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1628 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл $\displaystyle \int (3 - x^2)^3 \, dx $

Раскрывая скобки под знаком интеграла, получаем:

1681 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл $\displaystyle \int \sin \frac{1}{x} \cdot \frac{dx}{x^2} $

1655 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл $\displaystyle \int \frac{dx}{x+a} $

Введем новую переменную $ t=x+a $, тогда $ dt = dx $ и при $ t \ne 0 $ (или $ x \ne -a $) получаем

RSS: отслеживать публикацию материалов