котангенс

1669 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1-\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

1667 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)} $

Очевидно, что в интеграле нужно сделать замену $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = \frac{1}{2} \, dt $).

Котангенс двойного угла

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha} $

Тригонометрические формулы двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alhpa \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формулы косинуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha} $

Таблица котангенсов

В следующей таблице приведены значения функции котангенса для некоторых значений углов:

Таблица значений тригонометрических функций

В следующей таблице приведены значения функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых значений углов:

1649 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \ctg^2 x \, dx $

Выразим котангенс через синус и косинус, добавим и вычтем в числителе полученной дроби квадрат синуса, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа

Производные простейших элементарных функций

  • $\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1} $ ($ x > 0 $ и $ n $ — постоянное число) — степенная функция
  • $\displaystyle (\sin x)' = \cos x $ — синус
RSS: отслеживать публикацию материалов