квадратный корень

1674 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} $

Выполним замену $ t = 1 - x^2 $, при этом $ dt = -2 x\, dx $. Заметим, что тогда выражение в числителе подынтегрального выражения есть $ -dt/2 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1-x^2}} =<br /> \int \frac{-dt/2}{\sqrt{t}} =<br /> - \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt<br /> $

1664 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}} $

Вынесем дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1663 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}} $

Вынесем дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1662 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2-3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1661.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1661 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2+3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1662.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1658 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{2-5x}} $

Сделаем замену переменной: $ t=2-5x $. Тогда $ dt = -5 \, dx $ и $ dx = -\frac{dt}{5} $.

RSS: отслеживать публикацию материалов