метод математической индукции

3 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливо следующее равенство: $\displaystyle 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$

При n=1 равенство очевидно. Действительно, $1^3 = 1^2$ .

Читать дальше

2 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливо следующее равенство: $\displaystyle 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

При n=1 равенство очевидно. Действительно, $\displaystyle 1 = \frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2\cdot 1 + 1)}{6}$ .

Читать дальше

1 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливо следующее равенство: $\displaystyle 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

При n=1 равенство очевидно. Действительно, $\displaystyle 1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2}$ .

Читать дальше

66 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Доказать следующее равенство: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$

Сначала докажем, что для любого $k \geqslant 0$ верно следующее утверждение: $\displaystyle k! > \left(\frac{k}{e}\right)^k$ . Для этого воспользуемся методом математической индукции. Для k=1 неравенство с очевидностью верно (действительно, $\displaystyle 1! > \left(\frac{1}{e}\right)^1$ ). Пусть оно верно для некоторого $k \in \mathbb{N}$ . Покажем, что оно верно и для k+1.

Читать дальше