натуральный логарифм

1682 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} $

Домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на $ x $:
$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Теперь заметим, что
$\displaystyle<br /> d\sqrt{x^2+1} = \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}<br /> $

Поэтому сделаем замену $ t = \sqrt{x^2+1} $, тогда $ x^2 = t^2-1 $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} =<br /> \int \frac{dt}{t^2-1} =<br /> - \int \frac{dt}{1-t^2}<br /> $

1679 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^3 \, dx}{x^8-2} $

Сделаем замену $ t = x^4/\sqrt{2} $, при этом $ dt = 2\sqrt{2} \, x^3 \, dx $. Отсюда числитель подынтегрального выражения $ x^3 \, dx $ равен $ dt / 2\sqrt{2} $.

1678 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{4+x^4} $

Сделаем замену $ t = x^2/2 $, при этом $ dt = x \, dx $. Заметим, что это в точности есть числитель $ x \, dx $ из подынтегрального выражения.

$$<br /> \int \frac{x \, dx}{4+x^4} =<br /> \int \frac{dt}{4+4t^2} =<br /> \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2}<br /> $$

1676 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{3-2x^2} $

Осуществим замену $ t = 3-2x^2 $, при этом $ dt = -4 x \, dx $. Заметим, что тогда в подынтегральном выражении числитель $ x \, dx $ будет равен $ -\frac{dt}{4} $.

$\displaystyle<br /> \int \frac{x \, dx}{3-2x^2} =<br /> \int \frac{-\frac{dt}{4}}{t} =<br /> -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t}<br /> $

1664 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}} $

Вынесем дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1662 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{2-3x^2} $

Решение этой задачи практически полностью повторяет решение задачи 1661.

Вынесем дробь $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

1644 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \left(2^x + 3^x\right)^2 \, dx $

Раскроем скобки в подинтегральном выражении, воспользовавшись формулой для квадрата суммы. Разобьем интеграл на сумму трех и обратимся к таблице простейших интегралов:

1645 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{2^{x+1} - 5^{x-1}}{10^x} \, dx $

Преобразуем подинтегральное выражение, разобьем интеграл на два и обратимся к таблице простейших интегралов:

1642 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \, dx $

Выражение в знаменателе подинтегрального выражения преобразуем, воспользовавшись формулой для разности квадратов. Разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

1643 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}} \, dx $

Решение этой задачи полностью аналогично решению задачи 1642.

Выражение в знаменателе подинтегрального выражения преобразуем, воспользовавшись формулой для разности квадратов. Разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

RSS: отслеживать публикацию материалов