неопределенный интеграл

1672 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\ch^2 \frac{x}{2}} $

Сделаем замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\ch^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\ch^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\ch^2 t}<br /> $

1673 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} $

Сделаем замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

$\displaystyle<br /> \int \frac{dx}{\sh^2 \frac{x}{2}} =<br /> \int \frac{2 \, dt}{\sh^2 t} =<br /> 2 \int \frac{dt}{\sh^2 t}<br /> $

1671 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int [\sh(2x+1)+\ch(2x-1)] \, dx $

Разобьем интеграл на сумму двух. В первом из полученных интегралов сделаем замену $ t = 2x+1 $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = dt/2 $). Во втором интеграле выполним замену $ s = 2x-1 $ (при этом $ ds = 2 \, dx $, а значит $ dx = ds/2 $).

1670 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения ($ \sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $), и сделаем в интеграле замену $ t = \frac{\pi}{2} - x $ (при этом $ dt = -dx $, а значит $ dx = -dt $).

1668 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

1669 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1-\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

1667 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)} $

Очевидно, что в интеграле нужно сделать замену $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = \frac{1}{2} \, dt $).

1666 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx $

Представим интеграл в виде суммы двух:
$\displaystyle<br /> \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx = \int \sin 5x \, dx - \int \sin 5\alpha \, dx<br /> $

Очевидно, что в первом интеграле нужно сделать замену $ t=5x $ (при этом $ dt = 5dx $, а значит $ dx = \frac{1}{5}dt $). Обратим внимание, что выражение под знаком второго интеграла является константой, и поэтому интеграл легко вычисляется.

1665 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int (e^{-x} + e^{-2x}) \, dx $

Представим интеграл в виде суммы двух:
$\displaystyle<br /> \int (e^{-x} + e^{-2x}) \, dx = \int e^{-x} \, dx + \int e^{-2x} \, dx<br /> $

Очевидно, что в первом интеграле нужно сделать замену $ t=-x $ (при этом $ dt = -dx $, а значит $ dx = -dt $). А во втором интеграле нужна замена $ s=-2x $ (при этом $ ds = -2dx $, а значит $ dx = -\frac{1}{2}ds $).

1664 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}} $

Вынесем дробь $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ за знак интеграла. Тогда становится очевидно, что нужно сделать замену $ t=x\sqrt{\frac{3}{2}} $. При этом $ dt = \left(x\sqrt{\frac{3}{2}}\right)'\,dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dx $, а значит $ dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \, dt $.

RSS: отслеживать публикацию материалов