неопределенный интеграл

1654 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать, что если $\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C $, то $\displaystyle \int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C $ (при $ a\neq 0 $)

Выполним замену переменной: $ t = ax + b $, при этом $ dt = a\,dx $ и $\displaystyle dx = \frac{dt}{a} $ при $ a\neq 0 $. Тогда

1650 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \tg^2 x \, dx $

Решение этой задачи полностью аналогично решению задачи 1649.

Выразим тангенс через синус и косинус, добавим и вычтем в числителе полученной дроби квадрат косинуса, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов

1649 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \ctg^2 x \, dx $

Выразим котангенс через синус и косинус, добавим и вычтем в числителе полученной дроби квадрат синуса, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов

1647 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int(1+\sin x + \cos x)\,dx $

Разобьем интеграл на сумму трех и обратимся к таблице простейших интегралов:

1639 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{x^2\,dx}{1+x^2} $

Добавим и вычтем в числителе единицу и разобьем интеграл на сумму двух:

1636 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\sqrt{x\sqrt{x}}\,dx $

1635 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{(1-x)^3}{x\sqrt[3]{x}}\,dx $

1634 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]{x}}\,dx $

1633 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx $

1632 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\left(\frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3} \right) \, dx $

$\displaystyle \int\left(\frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3} \right) \, dx = a \ln |x| - \frac{a^2}{x} - \frac{a^3}{2x^2} + C $

RSS: отслеживать публикацию материалов