предел

Сходимость числового ряда

Числовой ряд

$$<br /> u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

называется сходящимся, если существует конечный предел $ S = \lim_{n \to \infty} S_n $ последовательности его частичных сумм $ \{ S_n \} $, которые определяются как сумма $ n $ первых членов ряда:

$$<br /> S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k<br /> $$

Предел $ S $ последовательности частичных сумм $ \{ S_n \} $ называется суммой данного ряда.

Для сходящегося ряда формально можно записать равенство

$$<br /> S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

В случае, если предел $ \lim_{n \to \infty} S_n $ не существует, ряд называется расходящимся.

Верхний и нижний пределы

Наибольшая предельная точка $ \bar x $ числовой последовательности $ \{x_n\} $ называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом $\displaystyle \bar x = \varlimsup_{n\to\infty} x_n = \limsup_{n\to\infty} x_n $.

Наименьшая предельная точка $ \underline{x} $ числовой последовательности $ \{x_n\} $ называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом $\displaystyle \underline{x} = \varliminf_{n\to\infty} x_n = \liminf_{n\to\infty} x_n $.

63 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать следующее равенство: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 $ (при $ a > 0 $)

При $ a=1 $ равенство очевидно.

Докажем, что $ \forall \varepsilon > 0 $ найдется номер $ N \in \mathbb{N} $ такой, что при $ n > N $ будет выполняться $ |\sqrt[n]{a} - 1| < \varepsilon $, т.е. что последовательность $ \{|\sqrt[n]{a} - 1|\} $ является бесконечно малой.

Рассмотрим отдельно случаи $ a>1 $ и $ 0<a<1 $.

65 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $

Покажем, что $ \forall \varepsilon > 0 $ найдется номер $ N \in \mathbb{N} $ такой, что при $ n > N $ будет выполняться $ |\sqrt[n]{n} - 1| < \varepsilon $, т.е. что последовательность $ \{\sqrt[n]{n} - 1\} $ является бесконечно малой.

Принцип двустороннего ограничения

Пусть $ \{x_n\} $ и $ \{z_n\} $ — сходящиеся последовательности, имеющие общий предел $ L $. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности $ \{y_n\} $ удовлетворяют неравенствам

$ x_n \leqslant y_n \leqslant z_n $.

Тогда последовательность $ \{y_n\} $ сходится и имеет предел $ L $

66 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Доказать следующее равенство: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 $

Сначала докажем, что для любого $ k \geqslant 0 $ верно следующее утверждение: $\displaystyle k! > \left(\frac{k}{e}\right)^k $. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Для k=1 неравенство с очевидностью верно (действительно, $\displaystyle 1! > \left(\frac{1}{e}\right)^1 $). Пусть оно верно для некоторого $ k \in \mathbb{N} $. Покажем, что оно верно и для k+1.

RSS: отслеживать публикацию материалов