рациональная функция

1640 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^2}{1-x^2} \, dx $

Вынесем знак «минус» за знак интеграла, при этом числитель подинтегрального выражения необходимо будет домножить на −1. Добавим и вычтем в числителе единицу, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов:

1641 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^2+3}{x^2-1} \, dx $

Представим в числителе подинтегрального выражения 3 как −1+4, разобьем интеграл на сумму двух, поменяем знак в знаменателе второго подинтегрального выражения и обратимся к таблице простейших интегралов:

1632 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int\left(\frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3} \right) \, dx $

$\displaystyle \int\left(\frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3} \right) \, dx = a \ln |x| - \frac{a^2}{x} - \frac{a^3}{2x^2} + C $

1631 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 \, dx $

$\displaystyle \int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 \, dx = \int \left(\frac{1}{x} -1\right)^2 \, dx = \ldots $

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа

1655 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл $\displaystyle \int \frac{dx}{x+a} $

Введем новую переменную $ t=x+a $, тогда $ dt = dx $ и при $ t \ne 0 $ (или $ x \ne -a $) получаем

845 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти производную функции $\displaystyle \frac{2x}{1-x^2} $

Воспользуемся формулой для дифференцирования частного $ u/v $ при $ v \ne 0 $:

$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

RSS: отслеживать публикацию материалов