синус

1670 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения ($ \sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $), и сделаем в интеграле замену $ t = \frac{\pi}{2} - x $ (при этом $ dt = -dx $, а значит $ dx = -dt $).

1669 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1-\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

1667 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)} $

Очевидно, что в интеграле нужно сделать замену $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $ (при этом $ dt = 2 \, dx $, а значит $ dx = \frac{1}{2} \, dt $).

1666 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx $

Представим интеграл в виде суммы двух:
$\displaystyle<br /> \int (\sin 5x - \sin 5\alpha) \, dx = \int \sin 5x \, dx - \int \sin 5\alpha \, dx<br /> $

Очевидно, что в первом интеграле нужно сделать замену $ t=5x $ (при этом $ dt = 5dx $, а значит $ dx = \frac{1}{5}dt $). Обратим внимание, что выражение под знаком второго интеграла является константой, и поэтому интеграл легко вычисляется.

Тригонометрические формулы понижения степени

<br /> \begin{align*}<br /> \sin^2 \alpha & = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{2} \\<br /> \cos^2 \alpha & = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2}<br /> \end{align*}<br />

Синус двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Косинус двойного угла

Формулы косинуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Тригонометрические формулы двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alhpa \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формулы косинуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha} $

Таблица синусов

В следующей таблице приведены значения функции синуса для некоторых значений углов:

Таблица значений тригонометрических функций

В следующей таблице приведены значения функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых значений углов:

RSS: отслеживать публикацию материалов