сходимость

Сходимость числового ряда

Числовой ряд

$$<br /> u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

называется сходящимся, если существует конечный предел $ S = \lim_{n \to \infty} S_n $ последовательности его частичных сумм $ \{ S_n \} $, которые определяются как сумма $ n $ первых членов ряда:

$$<br /> S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k<br /> $$

Предел $ S $ последовательности частичных сумм $ \{ S_n \} $ называется суммой данного ряда.

Для сходящегося ряда формально можно записать равенство

$$<br /> S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^\infty u_k<br /> $$

В случае, если предел $ \lim_{n \to \infty} S_n $ не существует, ряд называется расходящимся.

Признак Даламбера

Если для всех $ k $ справедливо неравенство $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} \leqslant q < 1 $, то ряд $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty p_k $ со строго положительными членами $ p_k $ сходится. Если же $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} \geqslant 1 $, то ряд расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Для сходимости ряда $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty u_k $ необходимо, чтобы последовательность $ \{u_k\} $ членов этого ряда являлась бесконечно малой.

2827 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующий степенной ряд: $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\left(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{k}\right)x^k $

Коэффициенты ряда имеют вид $\displaystyle a_k = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{k} $.

RSS: отслеживать публикацию материалов