степенная функция

1660 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sqrt[5]{1-2x+x^2}}{1-x} \, dx $

Выделим под корнем полный квадрат и преобразуем подинтегральное выражение

1659 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{dx}{(5x-2)^\frac{5}{2}} $

Сделаем замену переменной: $ t=5x-2 $. Тогда $ dt = (5x-2)'\,dx = 5 \, dx $, а значит $ dx = \frac{dt}{5} $.

1637 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{1}{x} (\sqrt{2x} - \sqrt[3]{3x})^2 \, dx $

Воспользуемся формулой для квадрата разности, раскроем скобки и обратимся к таблице простейших интегралов:

1638 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл:$\displaystyle \int \frac{1}{x^3} \sqrt{x^4+x^{-4}+2} \, dx $

Соберем под знаком корня квадрат суммы, воспользуемся тем фактом, что $\displaystyle x^2 + x^{-2} > 0 $, чтобы «избавиться» от корня, и обратимся к таблице простейших интегралов:

1656 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int (2x-3)^{10} \, dx $

Выполним замену переменной: $ t = 2x - 3 $. При этом $ dt = 2 dx $ и $\displaystyle dx = \frac{dt}{2} $. Тогда

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа

Производные простейших элементарных функций

  • $\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1} $ ($ x > 0 $ и $ n $ — постоянное число) — степенная функция
  • $\displaystyle (\sin x)' = \cos x $ — синус
RSS: отслеживать публикацию материалов