тангенс

1670 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения ($ \sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $), и сделаем в интеграле замену $ t = \frac{\pi}{2} - x $ (при этом $ dt = -dx $, а значит $ dx = -dt $).

1668 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{1+\cos x} $

Преобразуем знаменатель, используя формулу для косинуса двойного угла ($ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $) и сделаем в интеграле замену $ t = x/2 $ (при этом $ dt = dx/2 $, а значит $ dx = 2 \, dt $).

Тангенс двойного угла

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

Синус двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Косинус двойного угла

Формулы косинуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Тригонометрические формулы двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alhpa \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формулы косинуса двойного угла:

<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha} $

Таблица тангенсов

В следующей таблице приведены значения функции тангенса для некоторых значений углов:

Таблица значений тригонометрических функций

В следующей таблице приведены значения функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых значений углов:

1650 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие: 
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \tg^2 x \, dx $

Решение этой задачи полностью аналогично решению задачи 1649.

Выразим тангенс через синус и косинус, добавим и вычтем в числителе полученной дроби квадрат косинуса, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, разобьем интеграл на сумму двух и обратимся к таблице простейших интегралов

Таблица основных неопределенных интегралов

  • $\displaystyle \int 0 \cdot dx = C $ — нуль
  • $\displaystyle \int 1 \cdot dx = x + C $ — константа
RSS: отслеживать публикацию материалов