замена переменной

1682 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$

Домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на $x$ :
$\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} $

Теперь заметим, что
$\displaystyle d\sqrt{x^2+1} = \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}} $

Поэтому сделаем замену $t = \sqrt{x^2+1}$ , тогда $x^2 = t^2-1$ .

$\displaystyle \int \frac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} = \int \frac{dt}{t^2-1} = - \int \frac{dt}{1-t^2} $

Читать дальше

1680 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ , при этом $dt = dx / 2\sqrt{x}$ . Отсюда выражение $dx / \sqrt{x}$ из подынтегрального выражения есть $2 dt$ .

Читать дальше

1679 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x^3 \, dx}{x^8-2}$

Сделаем замену $t = x^4/\sqrt{2}$ , при этом $dt = 2\sqrt{2} \, x^3 \, dx$ . Отсюда числитель подынтегрального выражения $x^3 \, dx$ равен $dt / 2\sqrt{2}$ .

Читать дальше

1678 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{4+x^4}$

Сделаем замену $t = x^2/2$ , при этом $dt = x \, dx$ . Заметим, что это в точности есть числитель $x \, dx$ из подынтегрального выражения.

$ \int \frac{x \, dx}{4+x^4} = \int \frac{dt}{4+4t^2} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+t^2} $

Читать дальше

1677 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2}$

Сделаем замену $t = 1+x^2$ , при этом $dt = 2 x \, dx$ . Заметим, что тогда числитель $x \, dx$ из подынтегрального выражения будет равен $\frac{dt}{2}$ .

$\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(1+x^2)^2} = \int \frac{\frac{dt}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} \, dt$

Читать дальше

1676 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{3-2x^2}$

Осуществим замену $t = 3-2x^2$ , при этом $dt = -4 x \, dx$ . Заметим, что тогда в подынтегральном выражении числитель $x \, dx$ будет равен $-\frac{dt}{4}$ .

$\displaystyle \int \frac{x \, dx}{3-2x^2} = \int \frac{-\frac{dt}{4}}{t} = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} $

Читать дальше

1675 — Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»

Условие:

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующий интеграл: $\displaystyle \int x^2 \sqrt[3]{1+x^3} \, dx$

Сделаем замену $t = 1 + x^3$ , при этом $dt = 3 x^2 \, dx$ . Заметим, что тогда множитель $x^2 \, dx$ из подынтегрального выражения будет равен $\frac{dt}{3}$ .