Последние поступления в раздел «Теория»

Определения, формулировки теорем, таблицы производных и интегралов

Критерий Коши сходимости ряда

Для того чтобы ряд $\sum_{k=1}^\infty u_k$ сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа $\varepsilon$ нашелся номер $N$ такой, что для всех номеров $n$ , удовлетворяющих условию $n \geqslant N$ и для всех натуральных чисел $p$ выполняется

$<br /> \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k \right| < \varepsilon<br />$

Сходимость числового ряда

Числовой ряд

$<br /> u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots = \sum_{k=1}^\infty u_k<br />$

называется сходящимся, если существует конечный предел $S = \lim_{n \to \infty} S_n$ последовательности его частичных сумм $\{ S_n \}$ , которые определяются как сумма $n$ первых членов ряда:

$<br /> S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k<br />$

Предел $S$ последовательности частичных сумм $\{ S_n \}$ называется суммой данного ряда.

Для сходящегося ряда формально можно записать равенство

$<br /> S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^\infty u_k<br />$

В случае, если предел $\lim_{n \to \infty} S_n$ не существует, ряд называется расходящимся.

Гиперболический косинус

Гиперболический косинус задается следующей формулой:

$<br /> \ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}<br />$

Читать дальше

Гиперболический синус

Гиперболический синус задается следующей формулой:

$<br /> \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}<br />$

Читать дальше

Тригонометрические формулы понижения степени

$<br /> \begin{align*}<br /> \sin^2 \alpha & = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{2} \\<br /> \cos^2 \alpha & = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2}<br /> \end{align*}<br />$

Котангенс двойного угла

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha}$

Тангенс двойного угла

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}$

Синус двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

$<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />$

Косинус двойного угла

Формулы косинуса двойного угла:

$<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />$

Тригонометрические формулы двойного угла

Формулы синуса двойного угла:

$<br /> \begin{align*}<br /> \sin 2\alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alhpa \\<br /> & = \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />$

Формулы косинуса двойного угла:

$<br /> \begin{align*}<br /> \cos 2\alpha & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\<br /> & = 2 \cos^2 \alpha - 1 \\<br /> & = 1 - 2 \sin^2 \alpha \\<br /> & = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}<br /> \end{align*}<br />$

Формула тангенса двойного угла:

$\displaystyle \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}$

Формула котангенса двойного угла:

$\displaystyle \ctg 2 \alpha = \frac{\ctg^2 \alpha-1}{2 \ctg \alpha}$